AI-modell knuste 80 år gammel matematisk gåte: "Milepæl" for kunstig intelligens

Selskapet kunngjorde i går, onsdag 20. mai, at en intern resonneringsmodell har funnet et motbevis til Paul Erdős' formodning om plan-enhetsavstand. I åtti år har problemet stått åpent.

Det spesielle er at modellen ikke er en spesialtrent teorembeviser, men en generell resonneringsmodell som fikk en samling Erdős-problemer som test. Beviset er etterprøvd av ni matematikere fra blant annet Princeton, Harvard, Cambridge, Manchester og Toronto, som har publisert en oppfølgingsartikkel på arXiv.

Hva problemet handler om

Enhetsavstandsproblemet ble stilt av den ungarske matematikeren Paul Erdős i 1946. Spørsmålet er enkelt å formulere: gitt n punkter i et plan, hvor mange par av punkter kan ligge på nøyaktig én enhets avstand fra hverandre?

Erdős antok at det øvre taket vokste bare litt fortere enn lineært med antall punkter. I åtti år har matematikere antatt at kvadratiske rutenett var omtrent den beste konstruksjonen man kunne lage.

OpenAIs modell viste at det finnes en uendelig familie av punkt-konfigurasjoner som gir flere enhetsavstander enn rutenett-modellen, med et fast positivt vekst-tillegg over det lineære. Det er en polynomisk forbedring som direkte motbeviser Erdős' øvre grense.

Tallteori knyttet til geometri

Det overraskende var ikke bare resultatet, men metoden. Modellen koblet det elementære geometriske spørsmålet til algebraisk tallteori, en dyp gren av matematikken som studerer utvidelser av de hele tallene.

Konstruksjonen bruker uendelige klasselegeme-tårn og Golod–Sjafarevitsj-teori, verktøy opprinnelig utviklet for å studere faktorisering i tallsystemer som strekker seg ut over de vanlige heltallene. Det er ikke en åpenbar kobling, og det er et av punktene som har fått matematikere til å heve øyenbrynene.

I oppfølgingsartikkelen skriver de ni matematikerne at deres versjon er "en menneske-digestert, noe forenklet og noe generalisert" utgave av AI-beviset. Kjernen er den samme ideen som modellen kom opp med på egen hånd.

"Milepæl" for AI i matematikk

Tim Gowers, Fields-medaljeinnehaver og professor ved Collège de France og Cambridge, har omtalt resultatet som en milepæl for AI i matematikk.

Blant medforfatterne på oppfølgingsartikkelen er også Noga Alon fra Princeton, Melanie Matchett Wood fra Harvard og Thomas Bloom fra University of Manchester, som drifter den åpne databasen over Erdős-problemer.

For OpenAI og den bredere AI-bransjen er det avgjørende poenget at oppdagelsen ikke kom fra et spesialbygget matematikk-system, men en generell modell uten skreddersydd støtte for nettopp dette problemet. Det antyder at samme type system kan settes på andre uløste problemer i og utenfor matematikken.

Gjennombruddet er ikke et språkmodell-triks med chatbot-svar, men et fagfellesjekket resultat publisert i et akademisk format. Spørsmålet matematikermiljøet nå diskuterer er hvor langt slike modeller kan tas, og hvor mange flere åpne problemer som kan falle samme vei.